Juros compostos: como calcular e conferir uma simulação
Juros compostos são juros sobre juros, e é por isso que 1% ao mês não dá 12% ao ano. Veja a fórmula, como converter taxa mensal em anual (e o contrário), o efeito dos aportes e um roteiro para conferir qualquer simulação.
O que são juros compostos
Segundo o Glossário Simplificado de Termos Financeiros do Banco Central, nos juros compostos o valor dos juros de um período (dia, mês, ano) é acumulado ao saldo da dívida ou do investimento e entra no cálculo dos juros do período seguinte. O mesmo glossário afirma que a imensa maioria das operações do mercado, como aplicações, empréstimos e financiamentos, usa esse regime. Nos juros simples, ao contrário, os juros de cada período são sempre calculados sobre o valor inicial.
A fórmula do valor final, sem aportes, é:
VF = VP × (1 + i)^n
onde VP é o valor inicial, i é a taxa por período (em decimal, 1% = 0,01) e n é o número de períodos. O ponto que mais gera erro: i e n precisam estar na mesma unidade. Taxa ao mês pede prazo em meses.
Exemplo: R$ 1.000 a 1% ao mês
Resultados obtidos com o código da calculadora de juros compostos do Me Ajuda Flow:
- Mês 1: juros de R$ 10,00, saldo de R$ 1.010,00.
- Mês 2: juros de R$ 10,10 (1% de R$ 1.010,00), saldo de R$ 1.020,10.
- Mês 3: juros de R$ 10,20, saldo de R$ 1.030,30.
- Mês 12: saldo de R$ 1.126,84, ou seja, R$ 126,84 de juros.
Note que os juros crescem todo mês, porque a base de cálculo cresce. Em juros simples, seriam R$ 10,00 todo mês e R$ 1.120,00 no fim de 12 meses.
Por que 1% ao mês não é 12% ao ano
Dividir ou multiplicar a taxa linearmente (12% ao ano dividido por 12 dá 1% ao mês) vale para juros simples. Em juros compostos, a conversão correta usa potência. A taxa anual equivalente a uma taxa mensal i é:
anual = (1 + i)^12 - 1
E o caminho inverso, da taxa anual para a mensal equivalente, é:
mensal = (1 + anual)^(1/12) - 1
Valores calculados com as funções do projeto:
- 1% ao mês equivale a 12,68% ao ano.
- 2% ao mês equivale a 26,82% ao ano.
- 12% ao ano equivale a 0,9489% ao mês, e não a 1%.
- 10% ao ano equivale a 0,7974% ao mês.
Prova pelo caminho contrário: R$ 1.000 a 0,9489% ao mês durante 12 meses chegam a R$ 1.120,00, exatamente 12% ao ano. Por isso, quando um contrato ou um anúncio trouxer taxa mensal e anual lado a lado, confira se a anual é a equivalente (12,68% para 1% ao mês) ou apenas a mensal multiplicada por 12. As duas aparecem na prática, e o texto do contrato deve dizer qual foi usada.
Aportes mensais
Com aporte fixo PMT ao fim de cada mês, o valor final fica:
VF = VP × (1 + i)^n + PMT × ((1 + i)^n - 1) / i
Essa versão supõe que o aporte entra no fim do mês, depois dos juros daquele mês. Se a sua simulação põe o aporte no início, o resultado será maior, e a diferença vem só dessa convenção.
Exemplo calculado: R$ 1.000 iniciais mais R$ 200 por mês, a 1% ao mês, por 12 meses:
- Total investido: R$ 3.400,00 (1.000 + 12 × 200).
- Saldo final: R$ 3.663,33.
- Juros acumulados: R$ 263,32.
Só com os aportes, sem valor inicial, são R$ 2.400,00 investidos e R$ 2.536,49 no fim, ou R$ 136,49 de juros. Aportes recentes rendem pouco, porque tiveram poucos meses de juros. O efeito pesa mesmo em prazos longos.
Juros compostos contra juros simples
O próprio Glossário do Banco Central traz um exemplo de dívida: R$ 1.000 no rotativo a 10% ao mês. No segundo mês, os juros de 10% incidem sobre R$ 1.100 e a dívida vai a R$ 1.210. Em 12 meses, o glossário informa R$ 3.138,43 em juros compostos contra R$ 2.200,00 em juros simples, uma diferença de R$ 938,43.
Refazendo o exemplo no código do projeto: dois meses dão R$ 1.210,00, como no glossário. Em 12 meses, a fórmula fechada dá R$ 3.138,43, igual ao glossário, e a simulação mês a mês dá R$ 3.138,44. A diferença de um centavo existe porque a simulação arredonda os juros de cada mês para centavos, como faz uma parcela real, e a fórmula não arredonda nada. Em uma conferência, uma diferença de poucos centavos costuma ser arredondamento, não erro.
Outra observação do glossário: com um único período de capitalização, juros simples e compostos dão o mesmo valor. A diferença só aparece a partir do segundo período.
Como conferir uma simulação
- Unidades iguais. Taxa ao mês com prazo em meses. Se a taxa é anual, converta com
(1 + anual)^(1/12) - 1antes de simular em meses. - Taxa em decimal. Use 0,01, não 1, na fórmula. Esquecer de dividir por 100 é o erro mais comum em planilha.
- Primeiro mês. Calcule à mão: valor inicial vezes a taxa. R$ 1.000 a 1% dá R$ 10,00. Se o primeiro mês já difere, o problema é de entrada.
- Fórmula fechada. Compare o saldo final com
VP × (1 + i)^n. Diferença de centavos é arredondamento. Diferença de reais indica outra taxa, outro prazo ou outra convenção de aporte. - Aporte no fim ou no início. Descubra qual convenção a ferramenta usa antes de comparar duas simulações.
- Taxas e impostos. A fórmula é bruta. Tarifas, IOF, imposto de renda e inflação mudam o resultado real e dependem de cada produto. Confirme essas regras na fonte do produto.
Financiamento: o mesmo princípio
A Calculadora do Cidadão do Banco Central descreve o financiamento com prestações fixas como regime de juros compostos com capitalização mensal. A relação publicada é q0 = ((1 - (1 + j)^-n) / j) × p, em que q0 é o valor financiado, j a taxa mensal, n o número de meses e p a prestação. A página explica que a taxa j é obtida por aproximação a partir do valor da prestação. Ou seja, a mesma lógica da potência vale quando você descobre a taxa efetiva de uma parcela anunciada.
Uma regra para guardar
Em juros compostos, tempo pesa mais que valor. R$ 100 a 1% ao mês por 120 meses chegam a R$ 330,04, mais que o triplo, sem nenhum aporte. Isso vale para investimento, e vale com a mesma força contra quem deve: dívida em atraso a juros altos cresce do mesmo jeito.
Para simular o seu caso, com valor inicial, aporte, taxa mensal ou anual e tabela mês a mês, use a ferramenta Juros compostos do Me Ajuda Flow. Para converter percentuais, veja Porcentagem, e para prestações de parcelamento, Financiamento.